【哈佛大学思维问答】正方形里的正方形

问题：将一个正方形的每条边都 三等分，就可以得到9个小正方形，如图1所示。将最中间的小正方 形涂成黄色。接下来将剩余的8个蓝色小正方形用同样的方法分别分成9个更小的正方形，将中间的小正方形也分别涂成黄色。如果无限重复这个过程，最后黄色部分的面积与最初的蓝色正方形的面积之间有怎样的关系？

答案：如果不断重复这个过程，那么最终的结果就是黄色部分的面积将会一直增 加，直到它的面积最后等于原来正方形的面积。这个结果听上去令人摸不着头脑，但是这种结果在处理无限问题的时候并不算是非常特殊的。第1次分割：新出现1个黄色正方形，其面积为1/9 ≈ 0.111;第2次分割：新出现8个黄色正方形，其面积分别为(1/9)²。因此此次分割后黄色部分的总面积为8 × (l/9)²+ 0.111 ≈ 0.2090第3次分割：新出现8²个黄色正方形，其面积分别为(1/9)³,此次分割后黄色部分的总面积等于8² × (l/9)³+ 0.209 电0.297第4次分割：新出现8³个黄色正方 形，其面积分别为(1/9)⁴，此次分割后黄色部分的总面积等于8³ × (1/9)⁴+ 0.297 ≈ 0.375这个图形变得逐渐清晰。黄色部分的总面积是一个无限的数，它等于：1/9+8 × (l/9)² + 8² × (l/9)³ +8³ × (l/9)⁴ +…如果我们根据这个式子算到第25次分割，黄色部分的面积总和就已经约为0.947，这个数字与原正方形的面积1已经非常接近了。