问题: 导函数问题
已知函数f(x)=(4x^2-7)/(2-x),x∈[0,1]
(1)求函数的单调区间和值域
(2)设a≥1,函数g(x)=x^3-3a^2x-2a,x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求实数a的取值范围？
解答:
(1)
f'(x)=[8x(2-x)+(4x^2-7)]/(2-x)^2=(-4x^2+16x-7)/(2-x)^2
=-(2x-7)(2x-1)/(2-x)^2
x∈[0,1]
当1/2<x<=1,f'(x)>0,f(x)增
当0<=x<1/2,f'(x)<0,f(x)减
当x=1/2,f'(x)=0,f(x)极小=f(1/2)=(4*1/4-7)/(2-1/2)=-4
f(0)=-7/2,f(1)=-3
∴单调区间:[0,1/2)减,(1/2,1]增
值域:[-4,-3]
(2)
[实际上就是要求g(x)的值域包含f(x)的值域]
g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)
a>=1
当x>a,g'(x)>0,g(x)增
当-a<x<a,g'(x)<0,g(x)减
当x<-a,g'(x)>0,g(x)增
当x=-a,g'(x)=0,g(x)极大
当x=a,g'(x)=0,g(x)极小
x∈[0,1],a>=1
g(x)单调递减
g(0)=-2a>=-3,a<=3/2
g(1)=1-3a^2-2a<=-4,a>=1或a<=-5/3
∴1<=a<=3/2
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