设f(x)的定义域为{x|x≠k/2},且f(x+1)=1/f(x),如果f(x)为奇函数，当0<x<1/2时,f(x)=3^x
(1)求f(2003/4)
(2)当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)时，求f(x)的表达式
(3)是否存在这样的正整数k,使得当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)，log3f(x)>x^2-kx-2k有解？

1. ∵ f(x+1)=1/f(x), ∴ f[(x-1)+1]=1/f(x-1),即f(x-1)=1/f(x),
∴ f(x-1)=f(x+1），f[(x+1)-1]=f[(x+1)+1], 即 f(x)=f(x+2), ∴ f(x)是最小正周期=2的周期函数.
∴ f(2003/4)=f(3/4+2×250)=f(3/4)…(*)
当1/2<x<1时,0<x-1/2<1/2, ∴ f(x-0.5)=3^(x-0.5), f(1/4)=f(0.75-0.5)=3^(1/4), ∴ f(0.75)=1/f(0.75+1)=1/f(1.75-2)=1/f(-0.25)=-1/f(1/4)=-3^(-1/4), 把它代入(*)式得f(2003/4)=-3^(-1/4)
2. 当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)时, 0<2k+1-x<1/2, 又f(x)=1/f(x-1），∴ f(x)=f(x-2k)=1/f(2k+1-x)=3^(x-1-2k).
3. 假设存在这样的正整数k,使得当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)，log3f(x)>x^-kx-2k有解.则x-1-2k>x^-kx-2k,即x^-(k+1)x+1<0有解,判别式△=(k+1)^-4≥0, |k+1|≥2, ∴ k≥1
即对于任意的正整数k,使得当2k+1/2<x<2k+1(k∈Z)，log3f(x)>x^-kx-2k都有解.