问题: 不等式
若 X2 + xy + Y2= 3 ω = X2 + Y2
求证： 2 ≤ω ≥ 6
另 x=p+q y=p-q
为什么？
解答:
∵ 化简含xy项的二元二次方程既要用到坐标轴的平移,又要用到坐标轴的旋转,而转轴公式是现在高中不学的知识. ∴ 这里用了比较特殊的中点坐标换元法,即设(x+y)/2=p,(x-y)/2=q.
∴ x^+xy+y^=(p+q)^+(p^-q^)+(p-q)^=3, ∴ p^+(q^/3)=1(椭圆型),再设p=cosθ,y=√3sinθ, 则ω=x^+y^=(p+q)^+(p-q)^=2(p^+q^)=2[(cosθ)^+3(sinθ)^]=2+4(sinθ)^, ∵ 0≤(sinθ)≤1, ∴ 2≤2+4(sinθ)^≤6, 即2≤ω≤6
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