在ΔABC中，已知
tanA+tamB+tanC=-1/6,
(tanA)^3+(tanB)^3+(tanC)^3=-181/216.
求A,B,C的大小。

在ΔABC中，已知 tanA+tamB+tanC=-1/6, （1）
(tanA)^3+(tanB)^3+(tanC)^3=-181/216. （2）
求A,B,C的大小。
解：设x=tanC,因tanC=-tan(B+C)=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC),故
tanBtanC=（tanA+tamB+tanC）/tanC=-1/6x,
(tanA)^3+(tanB)^3=(tanA+tanB)[ (tanA+tanB)^2-3tanAtanB]=(-x-1/6)[ (-x-1/6)^2+1/2x],
代入（2）得 (-x-1/6)[ (-x-1/6)^2+1/2x]+x^3=-181/216,
化简得 6x^3+x^2-4x+1=0 (3)
(3)的奇数项系数和=偶数项系数和，故它有一根-1.
（3）左=6x^3+6x^2-5x^2-5x+x+1
=6x^2(x+1)-5x(x+1)+x+1
=(x+1)(6x^2-5x+1)
=(x+1)(2x-1)(3x-1)
所以 （3）的另两根为1/2、1/3.
因（1）、（2）关于A、B、C对称，故设x=tanA或tanB,也得方程（3），于是tanA、tanB、tanC分别是-1、1/2、1/3，A、B、C分别是3Π/4、arctan(1/2)、arctan(1/3)。