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问题: 抽象函数

定义在R上的函数f(x)同时满足:1.对于任意的实数m.n总有f(m+n)=f(m)+f(n)成立 2.当x>0时f(x)<0 3.f(-1)=2 求证: f(x)在R上是减函数

证完它是过原点的奇函数可不可以说明就是减函数

解答:

楼上证明【f(x)在R上为减函数】的过程我没看明白,好像不太对。

其实第三个条件是多余的。

任意取a,b∈R,且a<b,即 b-a>0。则

①根据【对于任意的实数m.n总有f(m+n)=f(m)+f(n)成立】可知:
f(b)=f(a)+f(b-a),即f(b)-f(a)=f(b-a);

②根据【当x>0时有f(x)<0】可知:f(b-a)<0。

所以 f(b)-f(a)<0,即f(x)在R上为减函数。

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【另答】
①并不需要证明f(x)是奇函数;
②R上的奇函数有减函数,例如 f(x)=-x;
有增函数,例如 f(x)=x^3;
还有非增非减函数,例如 f(x)=sinx。