题 设P是△ABC内部任意一点，过P点作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB分别交BC，CA，AB于D，E，F，k>1。
求证:
PA/(PA+kPD)+PB/(PB+kPE)+PC/(PC+kPF)≥6/(2+k)

题 设P是△ABC内部任意一点，过P点作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB分别交BC，CA，AB于D，E，F，k>1。
求证:
PA/(PA+kPD)+PB/(PB+kPE)+PC/(PC+kPF)≥6/(2+k)


证明 设△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为x/2，y/2，z/2，
令BC=a，CA=b，AB=c。
则有:a*PA≥y+z，b*PB≥z+x，c*PC≥x+y。
a*PD=x，b*PE=y，c*PF=z。
所以得:
PA/(PA+kPD)≥(y+z)/(y+z+kx) ，
PB/(PB+kPE)≥(z+x)/(z+x+ky) ，
PC/(PC+kPF)≥(x+y)/(x+y+kz) 。
故欲证所证不等式,只需证:
(y+z)/(y+z+kx)+(z+x)/(z+x+ky)+(x+y)/(x+y+kz)≥6/(2+k) (1)

(1)式化简整理为:
[k(y-x)+k(z-x)]/(y+z+kx)+[k(z-y)+k(x-y)]/(z+x+ky)+[k(x-z)+k(x-y)]/(x+y+kz)≥0

上式整理为:
k(k-1){(y-z)^2/[(x+y+kz)(z+x+ky)]+(z-x)^2/[(y+z+kx)(x+y+kz)]
+(x-y)^2/[(z+x+ky)(y+z+kx)]}≥0

当k≥1时，上式显然成立，故不等式(1)成立。