问题: 矩阵难题
已知对给定方阵A，存在正整数k,满足A^k=0,试证E-A可逆，并求出(E-A)^-1的表达式。。。
写出过程。。。
解答:
两种方法，其本质还是多项式。
证一：由已知得E^k-A^k=E，即
(E-A)(E+A+A²+…+A^k-1)=E，两边取行列式得
|E-A||E+A+A²+…+A^k-1|=1，即
|E-A|≠0，故E-A可逆，且
(E-A)^-1=E+A+A²+…+A^k-1
证二：A^k=[E-(E-A)]^k=E-C(k,1)(E-A)+C(k,2)(E-A)²-…
+（-1）^k(E-A)^k，也就是二项式定理，整理即得。
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