问题: 求函数最小值
设x,y,z>=0,且x+y+z=3.求函数
f(x,y,z)=1/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]
的最小值.
解答:
设x,y,z>=0,且x+y+z=3.求函数
f(x,y,z)=1/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]
的最小值.
在x,y,z>=0,x+y+z=3条件下,在x=0,y=z=3/2时,f(x,y,z)的最小值为16/81.
即证
1/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=16/81
<===>
(x+y+z)^4/[(yz)^2+(zx)^2+(xy)^2]>=16
<===>
Σx^4+4Σ(y+z)x^3-10Σ(yz)^2+12xyzΣx>=0 (1)
设x=min(x,y,z),(1)分解为
x(x+5y+5z)*(x-y)*(x-z)
+[y^2+z^2+6yz+4xy+4xz-5x^2](y-z)^2
+11xyz(x+y+z)>=0
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