问题: 高中不等式问题
设a,b,c,d为正实数,且有ab+bc+cd+da=1.求证
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1
解答:
设a,b,c,d为正实数,且有ab+bc+cd+da=1.求证
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
简证 由三元均值不等式得:
a^3/(b+c+d)+(b+c+d)/18+1/12>=a/2;
b^3/(c+d+a)+(c+d+a)/18+1/12>=b/2;
c^3/(d+a+b)+(d+a+b)/18+1/12>=c/2;
d^3/(a+b+c)+(a+b+c)/18+1/12>=d/2.
以上四式相加得:
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)
>=(a+b+c+d-1)/3
而 ab+bc+cd+da=1 <==> (a+c)*(b+d)=1
所以 a+b+c+d=a+c+1/(a+c)>=2
故得:
a^3/(b+c+d)+b^3/(c+d+a)+c^3/(d+a+b)+d^3/(a+b+c)>=1/3
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