问题: 高数题一
设对任意x>0，曲线y＝f（x）上点（x，f（x））处的切线在y轴上的截距等于（1/x)∫f(t)dt，｛0到x上的积分｝求f(x)的一般表达式
解答:
解：过(x，f(x))的切线方程为Y-f(x)=f`(x)(X-x)
令X=0，得其在y轴上的截距为Y=f(x)-xf`(x)
依题意得f(x)-xf`(x)=(1/x)∫<0,x>f(t)dt，即
∫<0,x>f(t)dt=xf(x)-x²f`(x)，两边求导得
f(x)=f(x)+xf`(x)-2xf`(x)-x²f``(x)，整理得
f``(x)+(1/x)f`(x)=0，
这是关于f`(x)的一阶线性齐次常微分方程，由公式得
f`(x)=C1e^(-∫dx/x)=C1/x，故
f(x)=C1lnx+C2
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