问题: 高数题二
设y=y(x)是一条向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为1/√(1+y'^2),且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y＝x+1，求该曲线的方程，并求其极值点
解答:
因为【y=y(x)是一条向上凸】所以y"≤0，
据题意有 -y"/[1+(y')^2]^(3/2)=1/[1+(y')^2]^(1/2)，
即 y"/[1+(y')^2]=-1，y(0)=1，y'(0)=1。
积分一次 arctany'=C1-x，
根据 y'(0)=1，可得 C1=π/4，
即 y'=tan(π/4-x)。
再积分一次 y=ln[cos(π/4-x)]+C2，
根据 y(0)=1，可得 C2=1+(ln2)/2。
【结论】y=ln[cos(π/4-x)]+1+(ln2)/2.
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