问题: 初中几何竞赛题
若△XYZ与△ABC相似，X,Y,Z分别线段BC,CA,AB上。
求证△XYZ的垂心就是△ABC的外心。
解答:
证明 设D,E,F分别边BC,CA,AB上的中点，易证△DEF∽△ABC.
设O为△DEF的垂心，
由OD⊥EF，BC∥EF，则OD⊥BC.
又BD=CD, 故OB=OC.
同理可得:OB=OA.
所以△DEF的垂心O是△ABC的外心。
设OX与OD的夹角为t, 对△DEF作位似旋转变换:
△DEF→S(O,t,sect) →△XYZ.
则O依然是△XYZ的垂心, 且△DEF∽△XYZ∽△ABC.
故结论成立。
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