在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90度,AD=AE,AF⊥BE交BC于F,过F作FG⊥CD交BE延长线于点G,求证:BG=AF+FG.

证明 设BE与CD交于H，AF与CD交于K。连AH，GK。
因为△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，
所以BE与CD的交点H在斜边的垂直平分线上，即AH⊥BC。
又因为AF⊥BE，所以H是△ABF的垂心。
设△ABF的外接圆半径为R，因为∠ABF=45°，
所以BH=2R*cos45°=√2*R，AF=2R*sin45°=√2*R.
故BH=AF.
因为AF⊥BE, FG⊥CD，
所以AF与CD的交点K是△HFG的垂心.
又FH⊥AB，即FH∥AC，所以GK⊥AC.
故∠KGF=∠ACD, ∠KGH=∠ABE。
又∠ACD=∠ABE, 所以∠KGF=∠KGH.
故△HFG等腰三角形，即得GH=GF。
从而得 BG=BH+HG=AF+FG。