问题: 填数
把1、2、3、4、5、6、7、8填入□中
□□□X□=□□□□
填数正确,不算。
要求有分析过程
解答:
解 本题属于数字谜题,具有整除性、同余性、数字特定性和互异性。先用同余性缩小论域。设A={1,2,……,8},A的各数和=36.设乘数、被乘数、积分别为a、b、c,则以9为模,
c≡-a-b (1)
ab≡c (2)
上述“≡”读作“同余于”。把(1)代入(2),变形得
(a+1)(b+1)≡1 (3)
换成以3为模,(3)的解为(0,0),(1,1)。因a,b,c的数字互异,故a≠1。
以下都以9为模。a=3,6时b≡3,6;a=4,7时b≡1,4,7.依次代入(3),得(3)的解为(3,6),(6,3),(4,1),(7,7)。b≡b的数字和。
1.a=3,b≡6时,A-{3}中数字和同余于6的三数组有1,6,8;2,5,8;2,6,7;4,5,6.为了积能进位,b的头两位>34;为了避免数字重复,b的末位数字不能是1,5.
3ⅹ618=1854,3ⅹ816=2448,3ⅹ528=1584,3ⅹ582=1746,3ⅹ852=2556,
3ⅹ627=1881,3ⅹ672=2016,3ⅹ726=2178,3ⅹ762=2286,3ⅹ456=1368,
3ⅹ546=1638,3ⅹ564=1692.
2. a=6,b≡3时,A-{6}中数字和同余于3的三数组有1,3,8;1,4,7;2,3,7;3,4,5. b的头两位>20;为了避免数字重复或不属于A,b的末位数字不能是1,2,4,5,8.
6ⅹ813=4878,6ⅹ417=2502,6ⅹ237=1422,6ⅹ273=1638,6ⅹ327=1962,
6ⅹ723=4338,6ⅹ453=2718,6ⅹ543=3258.
3. a=4,b≡1时,A-{4}中数字和同余于1的三数组有1,2,7;1,3,6;2,3,5。b的头两位>25,b的末位数字不能是1,5,6.
4ⅹ712=2848,4ⅹ613=2452,4ⅹ253=1012,4ⅹ352=1408,4ⅹ523=2092,
4ⅹ532=2128.
4. a=7,b≡7时,A-{7}中数字和同余于7的三数组有1,2,4;2,6,8;3,5,8. b的头两位>20,b的末位数字不能是1,5.
7ⅹ214=1498,7ⅹ412=2884,7ⅹ268=1876,7ⅹ286=2002,7ⅹ628=4396,
7ⅹ682=4774,7ⅹ826=5782,7ⅹ862=6034,7ⅹ358=2506,7ⅹ538=3766,
7ⅹ583=4081,7ⅹ853=5971.
总之,本题有两解:582ⅹ3=1746,453ⅹ6=2718.
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