问题: 初中 几何
求证三角形三个旁切圆的半径和等于内切圆半径与4倍的外接圆半径的和.
解答:
设ra,rb,rc分别是边BC,CA,AB上的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c.
2s=a+b+c,△表示△ABC的面积.
∵ra=△/(s-a),rb=△/(s-b),rc=△/(s-c)
ra+rb+rc=△[1/(s-a)+1/(s-b)+1/(s-c)]
=△[∑((s-b)(s-c)]/∏(s-a)
∵△=s*r,
∑(s-b)(s-c)=r(4R+r)
∏(s-a)=sr^2.
∴ra+rb+rc=[s*r*r(4R+r)]/(sr^2)=4R+r
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