问题: 高中竞赛不等式问题
已知x，y，z是正实数，且xyz=1，求证
x^3/(1+y)(1+z)+y^3/(1+z)(1+x)+z^3/(1+x)(1+y)≥3/4.
解答:
证明 根据均值不等式得:
x+y+z≥3xyz=3 (1)
x^3/(1+y)*(1+z)+(1+y)/8+(1+z)/8≥3x/4 (2)
y^3/(1+z)*(1+x)+(1+z)/8+(1+x)/8≥3y/4 (3)
z^3/(1+x)*(1+y)+(1+x)/8+(1+y)/8≥3z/4 (4)
(2)+(3)+(4)得:
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)
≥(x+y+z)/2-3/4
故得:
x^3/(1+y)*(1+z)+y^3/(1+z)*(1+x)+z^3/(1+x)*(1+y)≥3/4.
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