设x,y,z为正实数，求证:
x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2+3>=2(y/x+x/z+z/y) 。

证明 设a,b,c是正实数，令a=x^2/y^2，b=y^2/z^2，c=z^2/x^2，则abc=1，对待证不等式作置换等价于
a^2+b^2+c^2+3≥2(bc+ca+ab) (1)
令a=k^2/mn, b=m^2/nk, c=n^2/km，则(1)等价于
Σk^6+3(kmn)^2≥2Σ(mn)^3 (2)
再令
f1=Σ(m^2+n^2)k^4-2Σ(mn)^3-2kmn[Σk^3-Σ(m+n)k^2+3kmn];
f2=Σk^6-Σ(m^2+n^2)k^4+3(kmn)^2;
f3=Σk^3-Σ(m+n)k^2+3kmn.
易证下列三式成立,
f1=(m-n)^2*(n-k)^2*(k-m)^2≥0
f2=(kmn)^2-(m^2+n^2)*(n^2+k^2-m^2)*(k^2+m^2-n^2)≥0
f3=kmn-(m+n-k)(n+k-m)*(k+m-n)≥0
故 f1+f2+kmn*f3≥0,
不等式(1)得证。