问题: 初三数学题
已知，如图1，BD,CE分别为△ABC的两内角平分线，AF⊥BD于点F，AG⊥CE于点G，连结FG，猜想FG与AB,AC,BC之间的关系并证明。
若图1BD,CE为两条外角平分线，如图2；
（2）BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，如图3.
则在图2，图3两种情况下，FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明。
解答:
简解
(1)延长AF,AG分别交直线BC于M,N.则
BN=BC-AC,[如果AC>BC,则BN=AC-BC]
CM=BC-AB,[如果AB>BC,则CM=AB-BC]
所以 MN=BC-BN-CM=AC+AB-BC.
故2GF=MN=AC+AB-BC.
(2)延长AF,AG分别交直线BC于M,N.则
BM=AB,CN=BC.
所以 MN=BC+BN+CM=AC+AB+BC.
故2GF=MN=AC+AB+BC.
(3)延长AF,AG分别交直线BC于M,N.则
CM=BC-AB.,[如果AB>BC,则CM=AB-BC]
CN=AC
所以 MN=BN+CM=BC-AB+AC.
故2GF=MN=BC-AB+AC.
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