问题: 若A是可逆方阵,则存在同阶可逆三角方阵C,使得(C^T)(A^T)AC=∧(对角阵）。
是三角方阵，不是正交矩阵！！
解答:
1.
设A=(a1,a2,..,an),由于A可逆,
其中a1,a2,..,an为列向量，
所以{a1,a2,..,an}为R^n的一个基.
使用Schimdt正交化的方法,得到一个标准正交基{b1,b2,..,bn},
且
b1=β(1,1)a1
b2=β(2,1)a1+β(2,2)a2
....
bn=β(n,1)a1+β(n,2)a2+..+β(n,n)an
2.
设
D=
β(1,1), 0,.......,0
β(2,1),β(2,2),.......,0
....
β(n,1),β(n,2),.......,β(n,n)
C=D^T是上三角矩阵
设正交矩阵F=(b1,b2,...,bn)
==>
F=AC.
3.
由于F正交，则
单位矩阵E=F^TF=(AC)^TAC=(C^T)(A^T)AC
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