问题: 高中不等式问题
己知a,b,c为正实数，且a+b+c=1。求证:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)>=9/4
解答:
己知a,b,c为正实数，且a+b+c=1。求证:
a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)>=9/4 (1)
证明 记P=a/(b+c^2)+b/(c+a^2)+c/(a+b^2)，
由柯西不等式得:
[a(b+c^2)+b(c+a^2)+c(a+b^2)]*P≥(a+b+c)^2
欲证(1)式，只需证
(a+b+c)^2/[a(b+c^2)+b(c+a^2)+c(a+b^2)]≥9/4 (2)
因为
1=(a+b+c)^2≥3(bc+ca+ab) (3)
(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)≥3(ac^2+ba^2+cb^2) (4)
所以 (a+b+c)^2/[a(b+c^2)+b(c+a^2)+c(a+b^2)]
=1/[bc+ca+ab+ac^2+ba^2+cb^2]
≥3/[3(bc+ca+ab)+a^2+b^2+c^2]
=3/[(a+b+c)^2+bc+ca+ab]
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