设x，y，z为正数，求证
9[(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)]^2≥(4y^2+4z^2+yz)*(4z^2+4x^2+zx)*(4x^2+4y^2+xy)

设x，y，z为正数，求证
9(x^2+y^2+z^2)^2*(x+y+z)^2≥(4y^2+4z^2+yz)*(4z^2+4x^2+zx)*(4x^2+4y^2+xy)

证明 将待证不等式展开为:
9Σx^6+18Σ(y+z)x^5-37Σ(y^2+z^2)x^4+20Σ(yz)^3+2xyzΣx^3+
16xyzΣ(y+z)x^2-75(xyz)^2≥0 (1)

设x=max(x,y,z)，(1)式化简整理等价于
9x[x^3+3(y+z)x^2-4x(y^2+z^2)+11xyz+4yz(y+z)](x-y)(x-z)
+[26x^4-16(y+z)x^3-37(y^2+z^2)x^2+14yzx^2+18x(y^3+z^3)
+38xyz(y+z)+9(y^4+z^4)+36yz(y^2+z^2)+26(yz)^2](y-z)^2≥0

<==> 9x[(x+4y+4z)(x-y)(x-z)+18xyz](x-y)(x-z)
+{[26x^2+36x(y+z)+9(y+z)^2](x-y-z)^2+4yz[22x^2-4x(y+z)-7yz]}(y-z)^2≥0

因为 x=max(x,y,z)，
所以(x-y)(x-z)≥0，22x^2-4x(y+z)-7yz≥0。
从而上式成立。

http://iask.sina.com.cn/b/16051707.html