问题: 初中几何
设M是凸四边形ABCD边CD的中点,且∠AMB=2π/3.
求证:BC+CD/2+DA≥AB.
解答:
设M是凸四边形ABCD边CD的中点,且∠AMB=2π/3.
求证:BC+CD/2+DA≥AB.
证明 以AM为轴,对三角形ADM作轴反射变换,D→D',
则MD=MD',AD=AD'.
同样以BM为轴,对三角形BCM作轴反射变换,C→C;,
则MC=MC',BC=BC'.
连C'D', 根据∠AMB=2π/3, 易证三角形MC'D'为正三角形.
从而C'D'=MD'=MC'=AD/2.
故在四边形ABC'D'中，AD'+D'C'+C'B>=AB.
因此得BC+CD/2+DA>=AB.
当且仅当MA是∠DAB的角平分线,MB是∠CBA的角平分线时取等号.
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