求二次型f=x1x2-4x1x3+6x2x3的实规范型可用方法如下：
设f对应的矩阵A=
0,1/2,-2
1/2, 0, 3
-2 , 3, 0
实对称矩阵的初等变换为做一次行变换后再做一次相同的列变换。

1.
先将A的第二行加到第一行，再第二列加到第一列。
A→B= (A初等变换到B）
1,1/2, 1
1/2, 0, 3
1, 3, 0

2.
先将B的第一行乘1/2减到第二行，再第一列乘1/2减到第二列。
B→C=
1, 0, 1
0,-1/4, 5/2
1, 5/2, 0

3.
先将C的第一行减到第三行，再第一列减到第三列。
C→D=
1, 0, 0
0,-1/4, 5/2
0, 5/2, -1

4.
先将D的第二行乘10加到第三行，再第二列乘10加到第三列。
D→F=
1, 0, 0
0,-1/4, 0
0, 0,23

5.
由于对角线有2正一负，所以
f的实规范型为：(y1)^2+(y2)^2-(y3)^2。

上面的方法不用求特征值，所以比较常用。