（1）设A和B为同阶实对称矩阵，若A合同于B，则A^2也合同于B^2. 我知道这个命题实错误的，但是举不出反例，帮忙举个，谢谢~
（2）|2 2 -2|
A= |2 5 -4|为正定阵，求可逆阵B，使得A=B^TB
|-2 -4 5 |

（1）A实对称矩阵，则A可对角化，所以
R(A^k)=R(A).

若A合同于B,则R(A)=R(B),所以R(A^2)=R(B^2).
又由于A^2，B^2正半定，所以A^2也合同于B^2。

（2）
使用http://iask.sina.com.cn/b/16141193.html中的方法。
A=
2 ,2 ,-2
2 ,5 ,-4
-2, -4 ,5
2.

比如第一次先将A的第一行减到第二行，再第一列减到第二列。
A→C=
2, 0, -2
0, 3, -2
-2,-2, 5
==>
P1^TAP1=C,其中
P1=
1,-1,0
0, 1,0
0, 0,1

同理得P2^TP2^TP1^TAP1P2P3=D=
2,0,0
0,3,0
0,0,5/3
=F^2
F=
√2, 0,0
0,√3,0
0, 0,√[5/3]

其中
P2=
1,0,1
0,1,0
0,0,1

P3=
1,0,0
0,1,2/3
0,0,1

==>
A=[FP3^(-1)P2^(-1)P1^(-1)]^T[FP3^(-1)P2^(-1)P1^(-1)]
=B^TB
B=FP3^(-1)P2^(-1)P1^(-1)

其中P3^(-1)，P2^(-1)，P1^(-1)容易计算，如
P1^（-1）=
1, 1,0
0, 1,0
0, 0,1

最后可计算B。