最大值为 （7√6)/12
解：将 2a^2 + 3b^2 = 1 左右两边同时除以3，
得(2/3)a^2 + b^2 = 1/3 →【A式】
将a√(2+b^2) 等价化成 (√6/2)*[√(2/3)a*√(2+b^2)]→【B式】
则根据基本不等式
【B式】 <= (√6/2)*{[(2/3)a^2 + b^2+2]/2}→【C式】
然后 将【A式】代入【C式】，得
(√6/2)*{[(2/3)a^2 + b^2+2]/2}
=（7√6)/12
当且仅当 √（2/3）a = √（2+b^2) 时取等号。
即当且仅当 2a^2 = 3b^2+6 时取等号.
因为a>0, b∈R, 所以等号可以成立。
所以最大值为 （7√6)/12 。
【更清楚的公式可以看我发的附件图图。】
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