问题: 导数问题
问下dy^2/dx^2 和y''这两个式子有什么区别?书上写前者在求导的时候要多乘一项dt/dx,不过后者好像不需要乘以这一项……现在在做题的时候不知道到底要不要乘,晕……
解答:
dy^2/dx^2 表示的是变量y对变量x的二阶导数,当自变量非常明确是哪个,不会发生混淆的时候,dy^2/dx^2 也可以简单记作y''。
求由函数y=f(u),u=u(x)复合成的函数y=f[u(x)]导数的时候,y的导数一般就不能简单用y'表示了,因为这里有三个变量,写y'会导致搞不清是y对x求导还是对u求导,所以应该分别用dy/dx与dy/du表示,这两者一般是不相同的。
用参数方程表示的函数x=x(t),y=y(t),我们可以看作是由t做中间变量的复合函数y=y[t(x)],dy/dx一般仍然是由参数t表示的,即dy/dx的表达式里一般是不显含x的。求dy^2/dx^2 就是dy/dx对x求导,由于dy/dx的表达式里不显含x,就只能对t求导,但对t求导的结果与对x求导的结果一般是不相等的,根据复合函数求导法则,再乘以一个dt/dx就相等了,所以有:
dy^2/dx^2=[d(dy/dx)/dt]*(dt/dx)
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