在ΔABC中，∠BAC=90°，M是BC边上一动点，过M做BC的垂线交直线AB于D，交直线CA于E，
(1),当点M在什么位置时，AM^2≥MD*ME。
(2)当点M在什么位置时，AM^2≤MD*ME。

在ΔABC中，∠BAC=90°，M是BC边上一动点，过M做BC的垂线交直线AB于D，交直线CA于E，
(1),当点M在什么位置时，AM^2≥MD*ME。
(2)当点M在什么位置时，AM^2≤MD*ME。

证明 设过M直线DE⊥BC，交CA于E，交AB的延长线于D，
不妨设CA>AB。
令BC=a, CA=b, AB=c，BM=x，则CM=a-x，a^2=b^2+c^2。
易证RtΔBMD∽RtΔEMC，
故得: BM/DM=EM/CM,
<==> BM*CM=EM*DM。 (1)
在RtΔABC中，据斯特瓦尔特(Stewart) 定理得:
BC*AM^2=BM*CA^2+CM*AB^2-BC*BM*CM
<==>
AM^2=[xb^2+(a-x)c^2]/a-x(a-x) 。 (2)

所以 AM^2≥MD*ME，等价于
[xb^2+(a-x)c^2]/a-x(a-x)≥x(a-x)
<==> xb^2+(a-x)c^2≥2ax(a-x)
<==> 2ax^2-(2a^2+c^2-b^2)x+ac^2≥0
<==> 2ax^2-(a^2+2c^2)x+ac^2≥0
<==> (2x-a)*(ax-c^2)≥0 (3)
因为 b>c, a/2>c^2/a，
解不等式(3)得:
当x≥a/2或x≤c^2/a，即在RtΔABC斜边BC的高与中线之间以外，有AM^2≥MD*ME。
备注:如果b<c，即x≤a/2，或x≥c^2/a，结论是一样的。

同样方法可证得: 当a/2≥x≥c^2/a，AM^2≤MD*ME。