问题: 帮帮忙
设函数f(x)=ax+lnx ,g(x)=a²x²
是否存在正实数a,使f(x)≤g(x)对一切正实数都成立,若存在,求a范围
解答:
问题转化为h（x）=f(x)-g(x)=ax+lnx -a²x² ≤0
对一切正实数都成立，
h′（x）=a+1/x-2a²x=（ax+1-2a²x² ）/x，
由于x>0,由ax+1-2a²x² >0得0<x<1/a,
所以0<x<1/a时h′（x）>0,h（x）是增函数,
x>1/a时h′（x）<0,h（x）是减函数,
因此h（x）的最大值为h(1/a)=-lna,
要使h（x）=f(x)-g(x)=ax+lnx -a²x² ≤0对一切正实数x都成立,
应使h（x）的最大值)-lna≤0,
所以a≥1.
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