问题: 向量与椭圆
一条斜率为1的直线L与离心率为（√2 ）/2的椭圆C：:(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2=1(a>b>0)交于P,Q两点，直线与y轴交于点R,且向量OP与向量OQ的乘积等于-3，向量PR=3倍的向量RQ，求直线L和圆C的方程
解答:
设P(x1,y1),Q(x2,y2),L:y=x+n ∵ e²=1/2, ∴ C:x²+2y²-2b²=0,L与C消y得3x²+4nx+2n²-2b²=0,x1+x2=-4n/3,x1x2=(2n²-2b²)/3.
向量OP*向量OQ=-3----->x1x2+y1y2=-3.y1y2=(x1+n)(x2+n)
=(n²-2b²)/3, ∴ 3n²-2b²+9=0......①.又R(0,n),向量PR=3倍的向量RQ，∴ x1/x2=-3, x2/x1=-1/3, (x1²+x2²)/(x1x2)=-10/3----->
(x1+x2)/(x1x2)=-4/3------>b²=3n²......②,由①,②得b²=3,
∴ a²=6, n=±1. ∴ 直线L: y=x±1, 椭圆C: (x²/6)+(y²/3)=1.
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