问题: 正方形ABCD中，N是DC中点，M是AD上一点，且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值
正方形ABCD中，N是DC中点，M是AD上一点，且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM的值
解答:
过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O
∵∠NMB=∠MBC, NO‖MB
∴四边形BMNO为等腰梯形
∴BO=MN
∵N是DC的中点
∴BO=MN=√（DM²+DN）²=√[(AB-AM)²+(AB/2)²]
∵NO‖MB, AD‖BC
∴∠AMB=∠MBC=∠NOC
∴△AMB∽△CON
∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)
∴BO=AB-AM/2
即√[(AB-AM)²+(AB/2)²]=AB-AM/2
解得AB²-2×AB×AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB×AM+AM²/4
AB²/4- AB×AM+3/4×AM²=0
(AB/2-3/2×AM)(AB/2-AM/2)=0
AB=AM或AB=3AM
∵AB=AM时M重合于D，不合题意。
∴AB=3AM
∴tan∠ABM=AM/AB=1/3
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