问题: 绝对值不等式
设f（x）=ax^2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:|f(2)≤7|
解答:
设f（x）=ax²+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:|f(2)|≤7
∵f(2)＝4a＋2b＋c
f(1)＝a＋b＋c
f(-1)＝a－b＋c
f(0)＝c
∴f(2)＝3×f(1)＋f(-1)－3×f(0)
∵当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1
∴|f(0)|≤1 |f(1)|≤1 |f(-1))|≤1
∴|f(2)|＝|3×f(1)＋f(-1)－3×f(0)|
≤|3×f(1)|＋|f(-1)|＋|3×f(0)|
＝3×|f(1)|＋|f(-1)|＋3×|f(0)|
≤3×1＋1＋3×1＝7
即|f(2)|≤7
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