问题: 难题求解
1.设正数数列{an}的前n项的和为Sn，且存在正数t，使得对所有正整数n有 根号（tSn)=(t+an)/2，则通过归纳猜测得Sn=____________
解答:
∵ √(tSn)=(t+An)/2, ∴ 4tSn=(t+An)^>0, t>0, ∴ Sn>0.
n=1时,A1=S1, 4tS1=(t+S1)^,(S1-t)^=0, ∴ S1=t.
n≥2时, An=Sn-S(n-1), ∴ 4tSn=[t+Sn-S(n-1)}^,
∴ 4tS2=(t+S2-S1)^=(t+S2-t)^, S2=4t=(2^)t,
4tS3=(t+S3-S2)^=(t+S3-4t)^=(S3-3t)^,(S3)^-10tS3+9t^=0,∵ Sn>S(n-1), ∴ S3=9t=(3^)t,于是猜想S1=t, ,n≥2时,Sn=(n^)t.
注: n^表示n的平方.
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