问题: 向量
已知a=(cosx,sinx),b=(2cosx,根号3cosx),函数f(x)=a*(b-a)
(1)求函数f(x)的振幅和周期;
(2)设x属于[拍/4,3拍/4],是否存在常数a,b属于Q,使得函数F(x)=-af(x)+2a+b的值域为[-根号3,根号3-1]?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由
解答:
已知a=(cosx,sinx),b=(2cosx,根号3cosx),函数f(x)=a*(b-a)
(1)求函数f(x)的振幅和周期;
解： 向量a=(cosx,sinx), 向量b=(2cosx,√3cosx),
b-a=（cosx，√3cosx-sinx）
f（x）=a*（b-a）=（cosx）＾+sinx（√3cosx-sinx）
=（cosx）＾+（√3/2）sin2x-（sinx）＾
=cos2x+（√3/2）sin2x
=（√7/2）sin（2x+u） tanu=2√3/3
函数f(x)的振幅（√7）/2和周期π;
(2)设x属于[拍/4,3拍/4],是否存在常数a,b属于Q,使得函数F(x)=-af(x)+2a+b的值域为[-根号3,根号3-1]?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由
F(x)=-af(x)+2a+b=-acos2x-a（√3/2）sin2x+2a+b
f（π/4）=-acos（π/2）-a （√3/2）sin（π/2）+2a+b
= 2a+b-a （√3）/2
f（3π/4）=-acos（3π/2）-a （√3/2）sin（3π/2）+2a+b
=2a+b+a （√3）/2
f（π/4）=2a+b-a （√3）/2=-√3
f（3π/4）=2a+b+a （√3）/2=√3-1
a=（2√3-1）/√3=（6-√3）/3
b=（4√3-27）/6
或：
f（π/4）=2a+b-a （√3）/2=√3-1
f（3π/4）=2a+b+a （√3）/2=-√3
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