问题: 奥数：素数，因数2
已知集合M={2,3,4,...,2000},求证：从M中任意取出15个两两互素的元素，其中至少有一个素数。
解答:
设在集合M中任取15个两两互素的数为n1,n2,……,n15.
不妨设1<n1<n2……<n15≤2000.
假设n1,n2,……,n15中没有素数，则它们都可以分解素因数。记ni的最小素因数为pi(i=1,2,……,15).
因为ni与nj互素，所以pi与pj不同。于是p1,p2,……,p15两两不同。
令max|p1,p2,……,p15|=p.
则 2*3*5*7*11*13*17*19*23*37*41*47≤p1p2……p15.
所以p≥47。因此n15≥47²=2039>2000.这与n15∈M矛盾。
故从M中取出15个两两互素的数中至少有一个素数。
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