2006个都不等于119的正整数a1,a2,a3,...a2006,排列成一行,其中任意连续若干项之和都不等于119,求a1+a2+a3+...a2006的最小值

解:首先证明命题:对于任意119个正整数b1,b2,…,b119,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数b1, b1+b2 …, b1+b2+…+b119, (1)
若(1)中有一个是119的倍数,则结论成立.
若(1)中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设b1+b2+…+bi和b1+b2+…+bj (1≤i≤j≤119),于是
119| bi+1+b2+…+bj
从而此命题得证.
对于a1，a2，a3 ，… a2006中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006=16×119+102,所以a1+a2+a3+…+a2006≥16×238+102=3910. (2)
取a119=a238=…=a1904= 120,其余的数都为1时,(2)式等号成立.
所以, a1+ a2+ a3+… + a2006的最小值为3910