问题: 等边三角形
已知a,b,c是三角形的三边,且满足(a+b+c)2=3(a2+b2+c2),求证:这个三角形是等边三角形
解答:
因为(a+b+c)^2 =3(a^2+b^2+c^2)
所以3a^2 + 3b^2 +3c^2 = ((a+b) + c )^2
3a^2 + 3b^2 +3c^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2
3a^2 + 3b^2 +3c^2 = a^2 + 2ab + c^2 + 2ac + 2bc + c^2
2a^2 + 2b^2 +2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc
a^2 + b^2 -2ab + a^2 + c^2 -2ac + b^2 + c^2 - 2bc = 0
(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 = 0
因为(a-b)^2>0 ,(a-c)^2>0,(b-c)^2>0
所以 (a-b)^2=0 ,(a-c)^2=0,(b-c)^2=0
所以a=b=c
所以该三角形是等边三角形
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