用半径为R的圆铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？


其实，这个题目在 人教版 2003年6月第一版 2006年5月第5次印刷 的数学数第134页—第3题。

设圆的半径为R,圆锥体的低的半径为r=(2πR-Rα)/2π
高h=√(R²-r²)=R√(4πα-α²)/2π
圆锥体的容积=1/3*πr²h
容积V(α)=(2πR-αR)²R√(4πα-α²)/24π²...(0<α<2π)
令V'(α)=0
=[(2πR-αR)²R(4π-2α)-4R²(2πR-αR)(4πα-α²)]/√(4πα-α²)48π²=0
(2πR-αR)²R(4π-2α)-4R²(2πR-αR)(4πα-α²)=0
化简后α²-4πα+4π²/3=0....α=(6-2√6)π/3,π(2+2√6/3)舍去，
因此当扇形的圆心角为(6-2√6)π/3时，圆锥体的容积最大。