实数a,b,c和正数z使得f(x)=x^3+ax^2+bx+c有三个实根x1,x2,x3,且满足
(1)x2-x1=z
(2)x3>(x1+x2)/2
(3)求(2a^3+27c-9ab)/z^3的最大值！

这是02年全国加式二的题
解答如下：
f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x3)[x²+(a+x3)x+x3²+ax3+b]
x1,x2是x²+(a+x3)x+x3²+ax3+b=0的两个根，由条件(1)可得：
(a+x3)²-4(x3²+ax3+b)=z²,
3x3²+2ax3+z²+4b-a²=0.
由条件(2)可得 x3=[-a+√(4a²-12b-3z²)]/3...①
4a²-12b-3z²≥0...②
易知 f(x)=(x+a/3)³-(a²/3-b)(x+a/3)+2a³/27+c-ab/3.
由f(x3)=0可得:ab/3-2a³/27-c=(x3+a/3)³-(a²/3-b)(x3+a/3)...③
由①式可得x3+a/3=2√3[√(a²/3-b-z²/4)]
记p=a²/3-b,由②③可得p≥z²/4且
ab/3-2a³/27-c=2√3[√(p-z²/4)](p-z²)/9.
令y=√(p-z²/4),则y≥0且
ab/3-2a³/27-c=ab/3-2a³/27-c=2√3[y(y³-3z²/4)]/9.
由于 y³-3z²y/4+z³/4=(y-z/2)²(y+z)≥0.
所以ab/3-2a³/27-c≥-(√3)(z)/18.
于是2a³+27c-9ab≤3z³√3/2.
取a=2√3,b=2,c=0,z=2,则f(x)=x³+2x²√3+2x
有根-√3-1,-√3+1,0.显然假设条件成立，且
(2a³+27c-9ab)/z³=(48√3-36√3)/8=3√3/2.
综上可知(2a³+27c-9ab)/z³的最大值为3√3/2.