问题: 函数
定义在R上的函数f(x)满足x>0时,f(x)>0,且对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)求证：f(x)是奇函数
(2)求证：f(x)是增函数
(3)若f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)<0对任意x∈R恒成立，求实数K的取值范围
解答:
1. ∵ f(0+0)=f(0)+f(0), ∴ f(0)=0.又f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),即f(-x)=-f(x), ∴ f(x)是奇函数 .
2. 设 x1>x2, 则f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),而f(-x2)=-f(x2), ∴ f(x1)-f(x2)=f(x1-x2), ∵ x1-x2>0, 而x>0时,f(x)>0, ∴ f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0. f(x1)>f(x2), ∴ f(x)是增函数.
3. f(k*3^x)+f(3^x-9^x-2)=f(k*3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0),∵ f(x)是增函数, ∴ k*3^x+3^x-9^x-2<0, 设3^x=t>0, 则t^-(k-1)t+2>0对任意t∈R+恒成立. 即 k<t+(2/t)+1对任意t∈R+恒成立.设g(t)=t+(2/t)+1,则只需k<g(t)的最小值. 对勾函数g(t)在(0,√2]上是减函数, ∴ t=√2时,有最小值g(√2)=1+2√2, ∴ k<1+2√2
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