求证：2[（√n+1）-1]＜（1+1/√2+1/√3+•••+1/√n）＜2√n（n∈N*）

数学归纳法
n=1时
2(√2 -1)<1<2成立
假设n=k时成立,
即,2[（√k+1）-1]＜（1+1/√2+1/√3+•••+1/√k）＜2√k .....(1)

则n=k+1时

在式子(1)中,最左边部分的增加值
2[（√k+2）-1]-2[（√k+1）-1]
=2[√(k+2）-√(k+1)]
=2[√(k+2）-√(k+1)] *[√(k+2）+√(k+1)] /[√(k+2）+√(k+1)]
=2/[√(k+2）+√(k+1)] .......(2)

中间部分的增加值 1/√(k+1) =2/[2√(k+1)] ....(3)

比较(2)和(3),分子相同,
显然(2)的分母大于(3)的分母
===>(3)>(2)

最右边部分的增加值
2[√(k+1）- √k ]
=2[√(k+1）- √k ]*[√(k+1)+√k ]/[√(k+1(+√k ]
=2/[√(k+1）+√k ] ....(4)

比较(4)和(3)
显然(3)的分母大于(4)的分母
==>(4)>(3)
所以,n=k+1时
(1)式从左到右三部分同时加上了依次增大的数
所以,不等式仍然成立
即n=k+1时
原式也成立
==>
2[（√n+1）-1]＜（1+1/√2+1/√3+•••+1/√n）＜2√n（n∈N*）