问题: 充要条件
函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件
解答:
如果a=0，并且b=0，则f(x)=x|x|,
有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)
此时f(x)是奇函数，因此f(x)是奇函数的充分条件是a=0且b=0、
如果f(x)=x|x+a|+b是奇函数，
则有f(-x)=-f(x)
--->(-x)|-x+a|+b=-(x|x+a|+b)=-x|-x+a|-b恒成立，
所以-b=b--->2b=0--->b=0.
此时f(x)=x|x+a|,
f(-x)=-f(x)
--->(-x)|-x+a|=-(x|x+a|)
等式恒成立，则|-x+a|=|x+a|
--->-x+a=x+a 或 -x-a
此时a不存在 或者 a=0.
所以a=0且b=0，是f(x)是奇函数的必要条件
综合起来，满足条件的充要条件是“a=0且b=0”.
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