已知函数y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)的值域为[1,9],求函数y=ax^2+8x+b的值域.

y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)
y*(x^2+1)=(ax^2+8x+b)
（a-y）x^2+8x+（b-y)=0
有韦达定理：Δ=8^2-4*(a-y)*(b-y)>=0
化简为 y^2-(a+b)y+(ab-16)<=0
解此不等式得[(a+b)-(√(a+b)^2-4(ab-16)]/2<=y<=[(a+b)+(√(a+b)^2-4(ab-16)]/2
又y=(ax^2+8x+b)/(x^2+1)的值域为[1,9],1<=y<=9
则 [(a+b)-(√(a+b)^2-4(ab-16)]/2=1
且 [(a+b)+(√(a+b)^2-4(ab-16)]/2=9
两式相加减得
a+b=10
√(a+b)^2-4(ab-16)=8→(a-b)^2=0→a=b
∴a=b=5
y=ax^2+8x+b
=5x^2+8x+5>=[(4*5*5)-8^2]/4*5=9/5(顶点纵坐标,及值点)
故:y=ax^2+8x+b的值域:y∈[9/5,+∞)
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