问题: 高二数学问题(3)
当0<x<∏/4时,函数f(x)={cos2x+1}/{sinxcosx-(sinx)^2}的最小值是?
解答:
当0<x<pi/4时,函数
f(x)=(cos2x+1/[sinxcosx-(sinx)^2]
=2(cosx)^2/[sinxcosx-(sinx)^2] 分子、分母同除以(cosx)^2
=2/[tanx-(tanx)^2]
=-2[(tanx-1/2)^2-1/4]
因为0<x<pi/4,所以0<tanx<1
--->-1/2<tanx-1/2<1/2
--->0=<(tanx-1/2)^2<1/4
--->-1/4=<(tanx-1/2)^2-1/4<0
--->-2/[(tanx-1/2)^2-1/4]>=8
--->f(x)>=8.
由此可见函数有最小值8.对应的x=arctan(1/2).
又直接对分母用均值不等式，应该是较好的选择。
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