n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除，所以上式能被5整除。
五个连续的整数至少有一个能被3整除，所以上式能被3整除。
五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除。
综上所述，原式能被3*5*8=120整除

为什么五个连续的整数至少有一个能被4整除，而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除，所以上式能被8整除?(它是指那个被4整除的数吗?)

完全不用这么证明.
5个连续整数必然有一个能被4整除.
假设这五个数字分别可以表示成
4k+a,4k+(a+1),4k+(a+2),4k+(a+3),4k+(a+4),
其中0<=a<=3
可以验证,无论a取0-3中的任何一个数字都可以确保上述5个数字中有一个是4的倍数.


5个数字中,至少有2个是偶数
假设这个数字是2m和2m+2
2m*(2m+2)=4m(m+1)
如果m是偶数,那么4m可以被8整除
如果m是奇数,那么4(m+1)可以被8整除